FUNGSI

BAB 1  FUNGSI

1.1  HUBUNGAN

Set A = { 1, 2, 3, 4 } dikenali sebagai domain

Set B = { D, B, C, A} dikenali sebagai kodomain

Imej bagi 1 ialah D, imej bagi 2 ialah B, imej bagi 3 ialah C dan imej bagi 4 ialah A

Objek bagi D ialah 1, objek bagi B ialah 2, objek bagi C ialah 3 dan objek bagi A ialah 4

{1, 2, 3, 4} adalah set objek manakala {D, B, C, A} adalah set imej

Set imej dikenali sebagai julat. Dalam hubungan di atas, julat adalah {D,B,C,A}

JENIS HUBUNGAN 

a    

1. Hubungan satu kepada satu
2. Hubungan banyak kepada satu
3. Hubungan satu kepada banyak
4. Hubungan banyak kepada banyak

   LATIHAN

1.       Diberi bahawa set P = {2,3,5} dan set Q = {12,21,35}. Wakilkan hubungan “adalah faktor bagi” antara set P dengan set Q dengan menggunakan

a)      Gambar rajah anak panah,

b)      Pasangan bertertib

c)       Graf

2.       Maklumat yang berikut menunjukkan satu set pasangan bertertib.

{(1,2), (1,3), (2,5), (3,5)}

Nyatakan

a)      Domain bagi hubungan ini

b)      Kodomain bagi hubungan ini

c)       Imej bagi 1

d)      Objek-objek bagi 5

e)      Julat bagi hubungan ini.

3.       Nyatakan jenis hubungan bagi setiap set pasangan bertertib di bawah.

a)      {(2,perdana), (2,genap), (3,perdana), (3,ganjil),(4,genap)}

b)      {(1,4),(2,5),(3,6),(4,7)}

c)       {(1,a),(1,b),(2,c),(2,d)}

1.2      FUNGSI

•       Fungsi adalah satu hubungan khas dengan keadaan setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej dalam kodomain.
•       Hubungan satu kepada satu dan hubungan banyak kepada satu adalah fungsi.
•       Huruf kecil seperti f, g, h dan sebagainya digunakan untuk mewakilkan satu fungsi.
•       Dalam rajah yang berikut, fungsi f memetakan unsur-unsur dalam set A kepada unsur-unsur dalam set B, iaitu f : A → B.

Maka, fungsi f boleh ditulis sebagai  f :x→x+3 atau f(x) = x+3. Set A = domain, objek Set B = kodomain, imej Julat = {3,5,7} Dengan kata lain, x adalah  objek dan f(x) adalah imej. │f(x)│ dikenali sebagai fungsi nilai mutlak   1.3     FUNGSI GUBAHAN
1.4    FUNGSI SONGSANG

KEBARANGKALIAN - PILIHATUR & GABUNGAN

MAKSUD KEBARANGKALIAN:
Kemungkinan atau kesempatan pada sesuatu keadaan yang akan berlaku ataupun telah berlaku. 

PILIHATUR 
MAKSUD: Satu kaedah yang digunakan untuk menyusun sesuatu peristiwa itu mengikut kemungkinan yang akan dapat dengan mengambil kira faktor susunan. 


FORMULA: 

Jika n benda yang berlainan hendak disusun pada satu baris dengan melibatkan r benda pada sesuatu ketika, maka bilangan susunan atau pilihatur yang boleh dilakukan ialah:

CONTOH SOALAN 1: 

Anda dikehendaki membaca 5 buku daripada satu senarai 8. Beberapakan cara susunan yang boleh dibuat ?

JAWAPAN CONTOH 2: 
8P5 = 8!/(8-5)!
      = 8X7X6X5X4X3X2X1/3X2X1
      = 6720

CONTOH SOALAN 2:

Rajah di bawah menunjukkan lima keping kad huruf yang berlainan.

$$REACT$$

(a)   Cari bilangan cara susunan yang mungkin, dalam satu baris, semua kad itu.

(b) Carikan bilangan cara susunan itu dengan keadaan huruf E dan huruf  A adalah bersebelahan.

JAWAPAN CONTOH 2:

(a) Bilangan cara susunan yang mungkin = 5! = 120

(b)

Jika huruf E dan huruf  A hendaklah disusun bersebelahan, EA dianggap sebagai satu unit.

Bersama-sama huruf-huruf ‘R’, ‘C’ dan ‘T’, kesemuanya 4 unit.

EA        R        C        T

Bilangan cara susunan = 4!

Huruf ‘E’ dan ‘A’ boleh juga disusun antaranya dalam kumpulan sendiri.

Bilangan cara susunan = 2!

Oleh itu, bilangan cara susunan perkataan ‘REACT’ dengan keadaan huruf E dan huruf  A adalah bersebelahan

= 4! × 2!

= 24 × 2

= 48


CARA MENGGUNAKAN KALKULATOR:

  

GABUNGAN
MAKSUD: Satu kaedah yang mana membolehkan kita mengetahui gabungan yang mungkin diperoleh daripada sesuatu peristiwa tanpa mengambil kira faktor susunan. 

FORMULA: 

Bilangan gabungan r objek daripada n objek.                

${}^n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

CONTOH SOALAN 1: 

Anda dikehendaki membaca 5 buku daripada satu senarai 8. Beberapakah cara yang berlainan untuk anda memilih buku tersebut tanpa menitikberatkan susunannya.

JAWAPAN CONTOH 1: 

8C5 = 8!/(5!)(8-5)!

       = 8X7X6X5X4X3X2X1/(5X4X3X2X1)(3X2X1)

       = 56 

CONTOH SOALAN 2: 

Dalam sebuah kotak terdapat 10 biji gula-gula yang berlainan perisa.

Cari (a) Bilangan cara 3 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak itu.

       (b) Bilangan cara sekurang-kurangnya 8 biji gula-gula boleh dipilih dari               kotak itu.

JAWAPAN CONTOH 2:

(a) Bilangan cara memilih 3 daripada 10 biji gula-gula

      = 10C3

      = 120

(b) Bilangan cara memilih 8 biji gula-gula = 10C8

${}^{10}{C}_8$

     Bilangan cara memilih 9 biji gula-gula = 10C9

     Bilangan cara memilih 10 biji gula-gula = 10C10

Oleh itu, bilangan cara sekurang-kurangnya 8 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak = 10C8 + 10C9 + 10C10

CARA MENGGUNAKAN KALKULATOR:

BIBLIOGRAFI: 
http://mathsforur.blogspot.my/2010/07/tahukah-anda-apa-itu-pilihatur-dan.html
http://siewchoong.com/category/pilih-atur-dan-gabungan/
https://www.slideshare.net/zabidah/pilihatur

Persamaan Kuadratik & Fungsi Kuadratik

Persamaan Kuadratik

1. Bentuk am persamaan kuadratik: ax²+bx+c=0

yang mana: a, b dan c=pemalar

                              a≠0

                    x= pembolehubah

2. Persamaan kuadratik  ax²+bx+c=0 dapat diselesaikan dengan 3 kaedah, iaitu,

(a) Pemfaktoran: (yx+p)(zx+q)=0

                                                x=-p/y atau -q/z

(b) Penyempernaan kuasa dua: a(x+p)² +q=0

                                                                  x=-p± √(-q/a)

(c) Rumus kuadratik: x=(-b±√(b²-4ac) )/2a

3. Bagi persamaan kuadratik ax²+bx+c=0,

- hasil tambah punca-punca= -b/a

- hasil darab punca-punca= c/a

 4. Oleh itu, persamaan kuadratik dapat dituliskan dalam bentuk:

x² -(hasil tambah punca-punca)x+(hasil darab punca-punca)=0

5. Syarat untuk jenis punca persamaan kuadratik ialah:

- Dua punca nyata yang berbeza: b²-4ac>0

- Dua punca yang sama: b²-4ac=0

- Tiada punca nyata: b²-4ac<0

6.

Contoh soalan dan jawapan (Persamaan Kuadratik)

C1.  x²-2x-3=0

        Solusi:

        x²-2x-3=0

       (x+1)(x-3)=0

        x+1=0 atau x-3=0

        x=-1 atau x=3

C2. x²-3x-4=0

       Solusi: 

       x²-3x-4=0

      (x+1)(x-4)=0

      x+1=0 atau x-4=0

      x=-1 atau x=4 

Fungsi Kuadratik

1. Nilai maksimum atau minimum bagi sesuatu fungsi kuadratik f(x)=ax²+bx+c dapat 

dicari dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua. iaitu dengan 

mengungkapkan ax²+bx+c dalam bentuk a(x+p)²+q

2.  

                  Definisi Fungsi Kuadrat 

Fungsi kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang berbentuk
f(x)=ax² + bx + c. dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0  
yang dapat diilustrasikan sebagai bentuk lintasan lengkung atau parabola.

3. a > 0, maka parabola terbuka ke atas dan memiliki titik puncak minimum

              a < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan memiliki titik puncak maksimum


  
             D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu X
             D = 0, maka parabola menyinggung sumbu X
             D > 0, maka parabola memotong sumbu X di dua titik

4.

Contoh soalan dan jawapan (Persamaan Kuadratik)

C1. f(x)= (x+2)²-3

       solusi: 

       minimum value of y: -3

       corresponding value of x: (x+2)²=0

                                                        x=-2

       minimum point: (-2, -3) 

       graph:

Sistem Nombor

🅝🅞🅜🅑🅞🅡 🅽🆈🅰🆃🅰 (Real Numbers)

Nombor nyata dibahagikan kepada nombor nisbah dan nombor bukan nisbah.

Nombor nisbah (Rational number) boleh dituliskan dalam bentuk pecahan,  m/n mana m dan n ialah interger dan n bukan 0.
Simbol nombor nisbah : Q


Integer (Simbol : Z) mengandungi nombor asli (Simbol : N) , nombor sifar, dan nombor negatif.
Nombor asli, N (Natural number) = {1,2,3,4,5,...}
Nombor bulat, W (Whole number) = {0,1,2,3,4,5,...}


Nombor perdana (Prime number) ialah nombor asli melebihi 1. Nombor perdana hanya mempunyai dua faktor, iaitu 1 dan nombor sendirinya.
Contoh : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97


Nombor bukan nisbah (Irrational number) ialah nombor yang tidak boleh ditulis dalam pecahan. Nombor berpuluhan bagi nombor bukan nisbah tidak akan berulang.

Contoh : π = 3.141592654...
               e = 2.718281828...
               √2 = 1.414213562...

Rumusan Nombor Nyata :

Ciri-ciri Nombor Nyata

Nombor nyata boleh ditambah, dikurang, didarab dan dibahagikan, kecuali nombor 0. Terdapat beberapa ciri yang berkaitan dengan nombor nyata.

Operasi	Sifat tertutup (Closure)	Hukum Tukar Tertib (Commutative)	Kalis Sekutuan (Associative)	Kalis Agihan (Distributive)
Penambahan	a+b = m ϵ R 2+12 = 14 ϵ R	a+b = b+a 3+5 = 5+3	a+(b+c) = (a+b)=c 1+(6+7) = (1+6)+7	a(b+c) = ab+ac 4(8+2) = 4(8)+4(2)
Pengurangan	a-b = n ϵ R 2-12 = -10 ϵ R	a-b ≠ b-a 3-5 ≠ 5-3	a-(b+c) ≠ (a-b)+c 1-(6+7) ≠ (1-6)+7	a(b-c) = ab-ac 4(8-2) = 4(8)-4(2)
Pendaraban	a×b = p ϵ R 2×12 = 24 ϵ R	a×b = b×a 3×5 = 5×3	a·(b·c) = (a·b) ·c 1·(6·7) = (1·6) ·7
Pembahagian	a ÷ b = q ϵ R 2 ÷ 12 = 1/6	a÷b ≠ b÷a 3÷5 ≠ 5÷3	a÷(b÷c) ≠ (a÷b) ÷c 1÷(6÷7) ≠ (1÷6) ÷7

Identiti bagi Penambahan dan Pendaraban

• ·      Identiti Tambahan (Additive Identity)

Apabila nombor sifar ditambahkan ke atas nombor a, produk penambahan tersebut tetap a ;
a+0 = 0+a = a

• ·       Identiti Pendaraban(Multiplicative Identity)

Apabila nombor 1 didarab ke atas nombor b, produk pendaraban tersebut tetap b ;
b·1 = 1·b = b

Songsangan bagi Penambahan dan Pendaraban

• ·       Songsang Tambahan  (Additive Inverse)

Contoh :          7 + (-7) = 0, additive inverse bagi 7 ialah -7
(-3) + 3 = 0, additive inverse bagi -3 ialah 3

• ·       Salingan (Multiplicative Inverse)

Contoh :          5 ・ 1/5 = 1, multiplicative inverse bagi 5 ialah 1/5
-9 ・ 1/9 = 1, multiplicative inverse bagi -9 ialah 1/-9

Penggunaan Nombor Nyata dalam Kehidupan Seharian